📗 «Matemáticas que deberían Saber Capítulo 3»

Capítulo 3: Fundamentos Avanzados de Funciones y Límites3. IntroducciónEl Capítulo 3 se enfoca en profundizar en el estudio de funciones y límites, dos conceptos fundamentales en el análisis matemático que son clave para entender el comportamiento de variables y fenómenos en diversas áreas científicas.Módulos del Capítulo 3:3.1 Definición GeneralDescripción: Define qué es una función en términos generales y establece los elementos clave de su estructura.3.2 Dominio y Codominio de una FunciónDefinición: El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada para los cuales la función está definida. El codominio es el conjunto de todos los posibles valores de salida.3.3 CurvaDescripción: Explora la noción de curva en el contexto de las funciones, como una representación gráfica de una función.3.4 Igualdad de Dos FuncionesDefinición: Dos funciones ( f ) y ( g ) son iguales si tienen el mismo dominio y para cada elemento del dominio, ( f(x) = g(x) ).3.5 Función «Univoca»Descripción: Una función es univoca (o biyectiva) si es tanto inyectiva (uno a uno) como sobreyectiva (sobre).3.6 Función Biunívoca (Inyectiva o Uno a Uno)Definición: Una función es biunívoca si para cada elemento del dominio hay un único elemento en el codominio y viceversa.3.7 Función Suprayectiva («Sobre»)Definición: Una función es suprayectiva si cada elemento del codominio tiene al menos un elemento en el dominio que lo mapea.3.8 Función BiyectivaDefinición: Una función es biyectiva si es tanto inyectiva como suprayectiva.3.9 Inverso de una FunciónDefinición: El inverso de una función ( f ), denotado como ( f^{-1} ), es una función que «deshace» la función original.3.10 Función InversaDescripción: Cómo se define y encuentra la función inversa de una función dada.3.11 Función IdentidadDescripción: La función identidad ( I(x) = x ) devuelve el mismo valor que se le da como entrada.3.12 Función ConstanteDescripción: Una función constante es aquella que siempre devuelve el mismo valor, independientemente de la entrada.3.13 Función Monótona (Creciente o Decreciente)Definición: Una función es monótona creciente si para cualquier par de valores ( x_1 ) y ( x_2 ) en su dominio, si ( x_1 < x_2 ) entonces ( f(x_1) \leq f(x_2) ).3.14 Función CóncavaDescripción: Una función es cóncava si su gráfica está por debajo de cualquier línea recta que la una con dos puntos de la misma.3.15 Gráfica de una FunciónDescripción: Representación visual de una función en un sistema de coordenadas.3.16 Función ProductoDescripción: Operación de multiplicación entre funciones.3.17 Asociatividad del Producto de FuncionesDescripción: Propiedad que indica que el resultado de multiplicar varias funciones no depende del orden en que se realice la multiplicación.3.18 Conjuntos MétricosDescripción: Espacios donde se pueden definir distancias o métricas entre elementos.3.19 Entorno o VecindadesDefinición: Un entorno o vecindad de un punto ( x ) es un conjunto que contiene todos los puntos cerca de ( x ).3.20 Vecindad Agujereada, Reducida, con Excepción, IncompletaDescripción: Tipos específicos de vecindades que cumplen ciertas propiedades adicionales.3.21 Conjuntos Abiertos y CerradosDescripción: Clasificación de conjuntos basada en propiedades topológicas relacionadas con los límites y la continuidad.3.22 Límite de una FunciónDefinición: El límite de una función ( f(x) ) cuando ( x ) tiende a ( a ) es el valor que ( f(x) ) se aproxima cuando ( x ) se acerca a ( a ).3.23 TeoremaDescripción: Afirmación matemática que se demuestra válida basándose en definiciones previas y teoremas establecidos.3.24 Límites por la Derecha y por la IzquierdaDefinición: Límites de una función cuando ( x ) se aproxima a ( a ) desde la derecha (mayor que ( a )) y desde la izquierda (menor que ( a )).3.25 Teoremas sobre LímitesDescripción: Teoremas importantes que establecen propiedades y reglas para calcular límites.3.26 Límites Más UsualesDescripción: Límites comunes que aparecen frecuentemente en el cálculo de funciones.3.27 Continuidad de una FunciónDefinición: Una función es continua en un punto si su valor en ese punto es igual al límite de la función en ese punto.3.28 Teorema sobre ContinuidadDescripción: Teorema que establece condiciones bajo las cuales una función es continua en un intervalo.3.29 Continuidad por la Derecha y por la IzquierdaDefinición: Una función es continua por la derecha en un punto si su límite desde la derecha en ese punto es igual al valor de la función en ese punto.3.30 Continuidad en un IntervaloDescripción: Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto dentro de ese intervalo.3.31 Función SuaveDescripción: Una función suave es aquella que tiene derivadas continuas hasta un cierto orden.3.32 Continuidad UniformeDefinición: Una función es uniformemente continua en un intervalo si la variación en ( y ) (dependiente de ( x )) puede hacerse arbitrariamente pequeña ajustando ( x ).3.33 TeoremaDescripción: Una afirmación matemática que se demuestra válida basándose en definiciones y teoremas establecidos.3.34 Normalización de DiscontinuidadesDescripción: Proceso de hacer que una función sea continua en un punto o intervalo al introducir una corrección o modificación adecuada.Este capítulo proporciona un marco teórico y práctico crucial para comprender las funciones y límites, esenciales en el análisis matemático y aplicaciones avanzadas en diversas disciplinas científicas y técnicas.